Τον αριθμό ‘’π’’ τον έχουμε συναντήσει στο σχολείο. Eίναι ένας πραγματικός αριθμός και χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα "π" (πι) της λέξης « περιφέρεια », και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως ‘’Pi’’, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το ''π'' είναι γνωστό επίσης εκτός από σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) και ως αριθμός του Λούντολφ (Ludolphine number από το Γερμανο-Ολλανδός μαθηματικό, Ludolf van Ceulen-1540-1610).
Ο αριθμός ‘’π’’ ή η ‘’σταθερά του Αρχιμήδη’’ έχει κέντρισε το ενδιαφέρον μεγάλων στοχαστών για χιλιετίες, αλλά μόνο πρόσφατα οι μαθηματικοί και οι άλλοι επιστήμονες ήταν σε θέση να καταλάβουν πραγματικά πώς σχετίζεται με τη φύση. Η μαγεία του "π" όμως δεν συγκινεί μόνον τους μαθηματικούς, φυσικούς, βιολόγους, χημικούς, μουσικούς, την τέχνη, τη μηχανολογία και τους τεχνίτες, αλλά εκατοντάδες χιλιάδες απλούς ανθρώπους σε όλο τον κόσμο, που αντιλαμβάνονται το θέμα ως ένα από τα πιο δημοφιλή παράξενα στην ιστορία της σκέψης. Η υπόθεση για τον αριθμό "π" δεν άφησε ασυγκίνητη ούτε τη γνωστή συνθέτρια και τραγουδίστρια Kate Bush, καθώς έγραψε ένα απόλυτα μυστικιστικό (αυτό είναι άλλωστε και το γνωστό της ύφος) τραγούδι για το "π". Εξάλλου, το 1998 ένας ανεξάρτητος Αμερικανός σκηνοθέτης, ο Darren Aronofsky (1969 ), γύρισε μία από τις πιο παράξενες ταινίες του σινεμά το "π", όπου ο πρωταγωνιστής (ένας νεαρός μαθηματικός με εμμονή στην κρυπτογραφία) προσπαθεί μέσω του "π" να βρει τον παγκόσμιο αλγόριθμο που θα αποκάλυπτε οριστικά την κοσμική συμμετρία και θα έδινε έναν και μοναδικό τρόπο υπολογισμού συμμετριών, από το χρηματιστήριο, μέχρι και το Θεό. Φυσικά το αποτέλεσμα τον οδήγησε στο να τρελαθεί.
Ο Νορβηγός καθηγητής στο Cambridge University Hans-Henrik-Stolum, (γεννηθείς το 1958), υπολογίζοντας το λόγο μεταξύ του πραγματικού μήκους των ποταμών από την πηγή μέχρι την εκβολή και της αντίστοιχης ευθείας γραμμής τους, βρήκε ότι ο λόγος αυτός είναι περίπου ο π=3,14. Δηλαδή, στην περίπτωση του λόγου των ποταμών, η εμφάνιση του αριθμού ‘’π’’ είναι το αποτέλεσμα της μάχης ανάμεσα στην τάξη και το χάος. .....για περισσότερα
Η θεωρία του χάους βασίζεται στην ιδέα ότι μικρές αλλαγές μπορούν να οδηγήσουν σε μεγάλης κλίμακας αποτελέσματα με την πάροδο του χρόνου και ότι προφανώς τυχαίες διακυμάνσεις μπορεί να οδηγήσουν σε εκπληκτικά παρόμοια σχήματα, όπως τον τρόπο που οι ποταμοί τείνουν να ελίσσομαι κατά τον ίδιο τρόπο, εφόσον δεν περιορίζονται από στενές κοιλάδες ή και πολύ πυκνή βλάστηση. Και ο Αϊνστάιν είχε παρατηρήσει ότι το νερό που ρέει γύρω στο εξωτερικό μιας καμπής του ποταμού, κινείται ταχύτερα από το νερό που ρέει γύρω από το εσωτερικό της. Αυτή η διαδικασία διαβρώνει ταχύτερα την εξωτερική όχθη, απ’ότι την εσωτερική όχθη και ο ποταμός με το χρόνο τείνει προς τα έξω, δημιουργώντας μια μεγαλύτερη κάμψη. Τελικά, οι στροφές γίνονται τόσο έντονες που αποκόπτονται από τον κύριο κλάδο του ποταμού. Αλλά, σημείωσε, ότι η διαδικασία ξεκινά και πάλι σύντομα και ο λόγος του μήκους ποταμού προς την ευθεία γραμμή μεταξύ πηγών και εκβολών ισούται περίπου κοντά στο ‘’π’’=3,14….
Ο γνωστός εκλαϊκευτής των μαθηματικών, ο καθηγητής Ian Stewart (1945 ) (μεταξύ των άλλων είναι διαχρονικό το βιβλίο του ‘’Παίζει ο Θεός ζάρια;), έλεγε στις διαλέξεις του ‘’Τα μυστικά της ύπαρξης, η ίδια η φύση της ζωής, δεν είναι απλώς ζήτημα βιοχημείας. Υπάρχουν και άλλες επιστήμες που παίζουν σημαντικότατο ρόλο στην εξήγηση του τι δίνει ζωή στους έμβιους οργανισμούς. Τι σχέση μπορεί να έχουν τα μαθηματικά (η γλώσσα της καθαρής αφαίρεσης) με τη βιολογία (τη γλώσσα της ζωής και των πολύπλοκων οργανικών μορφών); «Επαναστατική!»’’. Και συνέχιζε. ‘’Μάλιστα, αυτή η ζωτική σχέση θα γίνεται ολοένα πιο παραγωγική. Η γεωμετρία των πολλών διαστάσεων καθοδηγεί και σήμερα όπως και στο παρελθόν την πλειονότητα των επιστημών’’.
Αρχαίοι λαοί είχαν παρατηρήσει ότι όταν το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου διαιρεθεί με τη διάμετρό του, τότε το πηλίκο είναι το ίδιο για όλους τους κύκλους και το οποίο είναι περίπου 3,14. Εκείνος, όμως, που προσπάθησε πρώτος να προσεγγίσει τον παραπάνω λόγο με θεωρητικό τρόπο και όχι εμπειρικά ήταν ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας π.Χ.). Ωστόσο, από πολλούς εικάζεται ότι στην εργασία του «Κύκλου μέτρησις», οδηγήθηκε στην προσεγγιστική τιμή 3,1416 χρησιμοποιώντας πολύγωνα με 384 πλευρές. Την ίδια προσέγγιση ισχυρίστηκαν ότι πέτυχαν και οι Ινδοί, χωρίς όμως να υπάρχουν τεκμήρια τα οποία να υποστηρίζουν αυτόν τον ισχυρισμό. Γι’ αυτό λοιπόν ο παραπάνω λόγος, ο αριθμός ‘’π’’, είναι γνωστός διεθνώς ως ‘’σταθερά του Αρχιμήδη’’.
Η πρόταση για την καθιέρωση της 14ης Μαρτίου ως παγκόσμιας ημέρα του ‘’π’’ (συμπίπτει και με τα γενέθλια του Albert Einstein-1879-1955), έγινε το 1988 από το φυσικό Larry Shaw του Μουσείου Exploratorium του San Francisco των ΗΠΑ. Επιλέχθηκε η ημέρα αυτή, γιατί κατά τον αμερικάνικο τρόπο γραφής της ημερομηνίας, που όπως γνωρίζουμε, προηγείται ο μήνας, της ημέρας. Δηλαδή, η παραπάνω ημερομηνία γράφεται ως εξής: 3-14 ή 3 / 14, που θυμίζει τα 3 πρώτα ψηφία της ρητής προσέγγισης του ‘’π’’ εκφρασμένης στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (δεκαδική προσέγγιση). Οι αμερικανοί μάλιστα για να δώσουν περισσότερη έμφαση σε αυτόν τον εορτασμό (Pi Approximation Day), διοργανώνουν διαλέξεις, parties και άλλες εκδηλώσεις, στα μαθηματικά τμήματα των πανεπιστημίων τους, που ξεκινούν ακριβώς στην ώρα 1 και 59 λεπτά και 26 δευτερόλεπτα, την 14η Μαρτίου κάθε έτους. Άλλωστε, τα επτά πρώτα ψηφία του "π" είναι ο αριθμός 3,1415926. Ωστόσο, στην Ευρώπη εξίσου διάσημη ημέρα εορτασμού του "π" είναι και η 22α Ιουλίου, (22/7), αφού διαιρώντας το 22 με το 7 προκύπτει ο αριθμός "π".
Ο υπολογισμός του ''π'' απασχόλησε τον άνθρωπο εδώ και 4.000 χρόνια, όταν αρχικά χρησιμοποιήθηκε από τους Βαβυλώνιους και τους Αιγύπτιους, ενώ τον 3ο και 4ο αιώνα π.Χ. αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και φιλόσοφοι διατύπωσαν τα δικά τους θεωρήματα για τον αριθμό ''π''. Όπως έχει σήμερα διαπιστωθεί, ο αριθμός ‘’π’’, ο δεκαδικός αυτός αριθμός δεν τελειώνει ποτέ. Ωστόσο, το πρώτο και πιο ενδιαφέρον θέμα είναι η εύρεση της ακριβούς τιμής του, και αυτό γιατί τα δεκαδικά ψηφία του συνεχίζονται επ' άπειρον. Για συντομία εμείς μπορούμε να πούμε τώρα ότι η τιμή του π είναι 3,1416. Οι ακριβολόγοι θα σας πουν φυσικά ότι αυτή είναι μια κατά προσέγγιση εκτίμηση και θα προτιμήσουν το περισσότερο ακριβές 3,14159265358979323846. Οι "τελειομανείς" και οι ακριβολόγοι θα προτιμήσουν να προσθέσουν ακόμη μερικές χιλιάδες ψηφία, και έτσι όμως δεν θα επιτύχουν τη σωστή τιμή. Ειδικότερα, τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510. Για την ιστορία λέγεται ότι ένας υπερ-υπολογιστής στο Τόκιο πριν μερικά χρόνια περισσότερα υπολόγισε δύο δισεκατομμύρια ψηφία του ''π''. Παρ' όλα αυτά, δεν μπόρεσε να φθάσει ως το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο, γιατί, όπως γνωρίζουν όλοι οι μαθηματικοί, αυτό βρίσκεται κάπου πέρα από το άπειρο. Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού ‘’π’’ έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση, την οποία επινόησε ο καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, Ν. Χατζηδάκης (1872-1942). Με αυτήν μπορεί κανείς να θυμάται τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του ‘’π’’: ''Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί,( 3, 1 4 1 5 9), το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω,( 2 6 5 3 5 8), παρήγαγεν αριθμόν απέραντον,( 9 7 9), και ον, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι, (3 2 3 8 4 6 2 6)''.Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθμού ‘’π’’. Λέγεται ότι ένας 24χρονος Κινέζος φοιτητής ο Lu Chao, σε πρόσφατο διαγωνισμό απομνημόνευσης, χρειάστηκε 24 ώρες και 4 λεπτά για να θυμηθεί και 67.890 δεκαδικά ψηφία του ‘’π’’ χωρίς λάθος.
Το περίεργο είναι ότι ο αριθμός "π" είναι ταυτοχρόνως και άρρητος και υπερβατικός αριθμός. Άρρητος, επειδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακέραιων αριθμών και υπερβατικός, επειδή αποτελεί τη ζωντανή απόδειξη ότι δεν μπορούμε να τετραγωνίσουμε τον κύκλο. Στη μη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι το ''π'' αποτελεί την απόδειξη του παλαιού ρητού ότι δεν μπορεί κανείς να τετραγωνίσει τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνο έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να φτιάξει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο. Το 1761ο Ελβετός μαθηματικός Johann Heinrich Lambert (1728-1777) απέδειξε ότι το ''π''είναι άρρητος αριθμός. Η δεύτερη μεγάλη ανακάλυψη σημειώθηκε το 1882, όταν ο Γερμανός μαθηματικός Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939 απέδειξε ότι το ‘’π’’ είχε μία ακόμη ασυνήθιστη ιδιότητα. Δηλαδή ήταν υπερβατικός αριθμός. Στη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί τη ρίζα καμιάς αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Αυτό είχε σαν άμεση συνέπεια το αδύνατο του «τετραγωνισμού του κύκλου», σύμφωνα με αρχαιοελληνικές απαιτήσεις, δηλ. με κανόνα και διαβήτη. Θα ήταν ενδιαφέρον να αναφέρουμε ότι ο Πυθαγόρας συνειδητοποίησε από πολύ νωρίς ότι οι αριθμοί βρίσκονταν κρυμμένοι σε όλα τα πράγματα, από την αρμονία στη μουσική μέχρι τις τροχιές των πλανητών. Η διαπίστωση αυτή τον οδήγησε στη δήλωσή του ότι «τα πάντα είναι αριθμοί». Όταν όμως ο Πυθαγόρας ισχυριζόταν ότι το σύμπαν κυβερνάται από αριθμούς εννοούσε τους ακέραιους αριθμούς και τους λόγους των ακεραίων αριθμών (κλάσματα), δηλαδή τους ρητούς. Ένας άρρητος αριθμός δεν είναι ούτε ακέραιος, ούτε κλάσμα, και θεωρήθηκε από τον Πυθαγόρα ότι ένας τέτοιος αριθμός είναι τρομερό πράγμα.
Τελειώνοντας, αξίζει να αναφερθεί ότι εκείνος που θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισμό του ‘’π’’ σε μια πιο θεωρητική βάση ήταν ο μαθηματικός από τις Συρακούσες της μεγάλης ελληνικής αποικίας της Σικελίας, ο Αρχιμήδης (287-212π.χ ). Άλλωστε, γι’ αυτό και το ''π'' είναι γνωστό και ως σταθερά του Αρχιμήδη. Κινέζοι, Ινδοί και Πέρσες φιλόσοφοι προσπάθησαν όλοι να υπολογίσουν αυτή τη σταθερά. Ωστόσο, το όνομα με το οποίο τη γνωρίζουμε σήμερα δόθηκε το 1706, όταν ο Ουαλλός μαθηματικός William Jones, (1746-1797 ) στο βιβλίο του «Μία Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά» συμβόλισε πρώτος τη σταθερά του Αρχιμήδη με το ελληνικό γράμμα ‘’π’’, αρχικό γράμμα της ελληνικής λέξης « περιφέρεια ». Μία από τις αρχαιότερες και ακριβέστερες τιμές είναι αυτή του αιγυπτίου γραφέα Αχμές (έζησε γύρω στο 1700 με 1500 π.χ και άφησε ένα πάπυροι με 84 λυμένα μαθηματικά προβλήματα). Την έχει καταγράψει σε έναν πάπυρο του Μέσου Βασιλείου της Αιγύπτου, περίπου το 1650 π.Χ., αντιγράφοντας ουσιαστικά έναν ακόμη αρχαιότερο πάπυρο. Ο Αχμές περιέγραψε το ''π'' ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 256 διά του 81, δηλαδή 3,160. Ωστόσο, οι μεγάλες δυσκολίες τότε με το ''π'', δεν είχαν ακόμη αρχίσει. Σύμφωνα με ένα θρύλο, όταν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι άρχισαν να χτίζουν την πόλη τους, ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με τη γεωμετρία. Ήδη από τον 20ό αιώνα. π.Χ. διαπίστωσαν ότι όταν η περιφέρεια οποιουδήποτε κύκλου διαιρείται δια της διαμέτρου του, το αποτέλεσμα είναι πάντοτε περίπου τρία. Υπολόγισαν μάλιστα την τιμή αυτού του λόγου στα 25/8, τα οποία απέχουν μόλις κατά 0,5% της πραγματικής τιμής του. Πολύ λιγότερο ακριβής είναι η άλλη από τις αρχαιότερες τιμές του ΄΄π΄΄, που συναντάμε στη Βίβλο (Βασιλέων Α, 7, 23), σύμφωνα με την οποία η κυκλική λίμνη του οίκου του Σολομώντα είχε διάμετρο δέκα πήχεις και περιφέρεια τριάντα πήχεις, τοποθετώντας την τιμή ακριβώς στο τρία.
Συνοψίζοντας. θα πρέπει να επισημανθούν ότι ο Αρχιμήδης (287-212 π.X.), άνοιξε το δρόμο για μια θεωρητική προσέγγιση του ‘’π’’. Και αναφέρει στην εργασία του ‘’Κύκλου Μέτρησις’’ <<’Παντός κύκλου η περίμετρος της διαμέτρου εστί και έτι υπερέχει ελάσσονι μεν ή εβδόμω μέρει της διαμέτρου, μείζονι δε ή δέκα εβδομηκοστο μόνοις>>. Εξάλλου, ο Ian Stewart, καθηγητής μαθηματικών στο Warwick University, UK, αναφέρει σε σχετικό σύγγραμμά του, << Όλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους>>. Έτσι, όσοι ασχολήθηκαν μετά τον Αρχιμήδη με το θέμα, και είναι πάρα πολλοί, ακολούθησαν το πνεύμα του Αρχιμήδη. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε τον γερμανό Ludolph van Ceulen (Τσόιλεν)(1540-1610), ο οποίος στις αρχές του 17ου αιώνα μ.Χ. υπολόγισε τα 35 πρώτα ψηφία της δεκαδικής προσέγγισης του ‘’π’’ χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα με 262 πλευρές. Η τιμή αυτή του ‘’π’’ σύμφωνα με επιθυμία του γράφτηκε πάνω στην επιτύμβια στήλη του. Επίσης, ο Βρετανός ερασιτέχνης μαθηματικός William Sanks (1812-1882) κάνοντας υπολογισμούς για 20 χρόνια ανακοίνωσε το 1873 τα 528 (και όχι 707 όπως λέγεται γιατί είχαν σφάλμα) πρώτα δεκαδικά ψηφία. Ωστόσο, το σύμβολο ‘’π’’ καθιερώθηκε και χρησιμοποιείται σήμερα διεθνώς όταν το χρησιμοποίησε και ο Ελβετός μαθηματικός Leonard Euler(1707-1783 ) το 1737 στο βιβλίο του “Variae Observationes circa series infinitas”. (πηγές: http://suite101.com/article/an-explanation-of-pi-a45547#ixzz2MDLpIHoY , http://www.ellinikoarxeio.com/2010/06/archimedes-‐number-‐p.html, http://users.uoa.gr/~nektar/science/history/pi_constant.htm ).
