- Φράκταλς και Αυτο-ομοιότητα στη Φύση

Στη Γεωμετρία του σχολείου μαθαίνουμε για τις ευθείες και άλλες γραμμές, τους κύκλους, τα τετράγωνα, τους κύβους, τους κυλίνδρους, το σφαιρικό σχήμα και άλλα. Στη φύση όμως γύρω μας, επικρατούν άλλου είδους σχήματα, όπως είναι εκείνα στα σύννεφα, στους κεραυνούς, στα σφουγγάρια, στους παγοκρυστάλλους, στους αχινούς, στα κοράλλια, στις φτέρες, στο κουνουπίδι αλλά και στις ακτογραμμές, στα δέλτα των ποταμών κ.ά. Όλα αυτά παρουσιάζουν μια πολυπλοκότητα που δεν μοιάζει καθόλου με τα απλά γεωμετρικά αντικείμενα της κλασικής Γεωμετρίας.

Μερικοί μαθηματικοί, στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα, είχαν επιχειρήσει να περιγράψουν μαθηματικά το σχήμα και τις ιδιότητες μιας άλλης κατηγορίας γεωμετρικών αντικειμένων, που χαρακτηρίζονται από μια ιδιότητα που ονομάζεται αυτο-ομοιότητα. Τα αντικείμενα αυτού του είδους παρουσιάζουν την ίδια εικόνα όταν παίρνει κανείς ένα κομμάτι τους και το μεγεθύνει, έτσι ώστε να έχει τις ίδιες διαστάσεις με το αρχικό. Οι καθιερωμένοι μαθηματικοί εκείνης της εποχής αντιμετώπισαν με απαξίωση αυτές τις ιδέες, επειδή θεώρησαν ότι δεν έχουν κανενός είδους εφαρμογή στην καθημερινή ζωή. Ένας από τους αιρετικούς μάλιστα εκείνης της εποχής, ο διακεκριμένος Γάλλος μαθηματικός Paul Pierre Levy (1886-1971), αναγκάστηκε από τους συναδέλφους του στην Πολυτεχνική Σχολή στο Παρίσι, να μη δίνει θέματα για διδακτορικές διατριβές σε μεταπτυχιακούς φοιτητές, επειδή η κρατούσα αντίληψη ήταν ότι με τέτοιες ιδέες δεν θα έβρισκαν στη συνέχεια δουλειά, οι τότε φοιτητές τους. Το 1967, ο καθηγητής, μαθηματικός Benoit Mandlebrot ((εβραίος λιθουανικής καταγωγής, που είχε γεννηθεί στην Πολωνία, 1924-2010),  που υπήρξε μαθητής του μαθηματικού P.P. Levy, έθεσε τη φαινομενικά απλοϊκή ερώτηση: «πόσο μεγάλη είναι η ακτογραμμή της Βρετανίας;». Ύστερα από σύντομη σκέψη, διαπιστώνει κανείς ότι η ερώτηση δεν είναι τόσο απλοϊκή, όσο φαίνεται εξαρχής, αφού η απάντηση εξαρτάται από την κλίμακα του χάρτη που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε την ακτογραμμή. Όσο πιο πολλές λεπτομέρειες έχει ο χάρτης, τόσο πιο μεγάλη τιμή για την ακτογραμμή προκύπτει. .........για τη συνέχεια

Δηλαδή, αν χρησιμοποιήσουμε ακρίβεια ενός μέτρου για να μετρήσουμε κάποια ακτογραμμή, θα τη βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι, γιατί δεν θα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις καμπυλότητες για παράδειγμα, που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι θα χάσουμε ορισμένες κοιλότητες που είναι μικρότερες από ένα εκατοστόμετρο. Έτσι, καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος του νησιού θα τείνει να γίνει άπειρη. Η επιφάνεια όμως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισμένη. Ο λόγος αυτής της παράξενης ιδιότητας, το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, είναι ότι η ακτογραμμή είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο ‘’μορφοκλασματικής’’ μορφής ή, όπως συνήθως λέγεται, ‘’φράκταλ’’, και με αυτό αντιμετωπίζεται. Ο όρος "φράκταλ" προέρχεται από το λατινικό fractio (θραύσμα, κομμάτι), λόγω της κλασματικής διάστασής του, χρησιμοποιήθηκε αρχικά από το Β. Mandelbrot τη δεκαετία του 1950, και πρότεινε την ιδέα ότι η γεωμετρία των αυτο-όμοιων σχημάτων έχει εφαρμογή στη Φύση. Όπως γράφει στο πιο γνωστό βιβλίο του, ‘’Η Μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης’’, «Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι, αλλά ούτε και το γάβγισμα του σκύλου είναι ομαλό, ούτε και η αστραπή ταξιδεύει στον ουρανό σε ευθεία γραμμή».

Στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ‘’Φράκταλ’’ (Fractal) ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται ως "Απείρως Περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως μαγική εικόνα που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλς είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης. σχήμα με την ιδιότητα της αυτοομοιότητας.
Η εφαρμογή των φράκταλς, σε προβλήματα που εμφανίζονταν σε πολλούς διαφορετικούς κλάδους των επιστημών, από τη Βιολογία και τη Γεωλογία ως τα Οικονομικά και την Αστρονομία, συντέλεσε ώστε το έργο του Β. Mandelbrot να αναγνωριστεί παγκοσμίως και οι μέθοδοί του να χρησιμοποιούνται ευρύτατα πρακτικά σε όλες τις επιστήμες που στηρίζονται σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Παρότι ο Mandlebrot, είναι εκείνος που εισήγαγε τόσο τον όρο, όσο και τη θεωρία των φράκταλ στην επιστήμη, όμως δεν μελετήθηκαν από αυτόν Το πρώτο φράκταλ που μελέτησε ο άνθρωπος, ήταν η ‘’Χρυσή Τομή’’ και η ‘’Τετραγωνική Ρίζα του αριθμού 2’’, από τον Πυθαγόρα (579 ή 572-500 ή 490 π.Χ.) και τη σχολή του. Αργότερα, ο Θεαίτητος ο Αθηναίος (415-394 π.Χ.) που υπήρξε μαθηματική ιδιοφυία, συνεργάτης του Πλάτωνα στην Ακαδημία του (για να τον τιμήσει ο Πλάτωνας έγραψε ιδιαίτερο διάλογο που φέρει το όνομά του Θεαίτητου ), απέδειξε ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των φυσικών αριθμών που δεν είναι τετράγωνα άλλων φυσικών (π.χ. 2,3,5,6,7,8,10,11 κ.λ.π) έχουν ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα που είναι περιοδικό. Επίσης, τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη (496-429 π.Χ. ) έχουν ως μαθηματικό υπόβαθρο την ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας.

Ανάμεσα στα εργαλεία των μαθηματικών με τα οποία αναλύονται και περιγράφονται πολύπλοκα φυσικά φαινόμενα είναι και η γνωστή ‘’Γεωμετρία των Fractals’’. Αυτή μεταξύ των άλλων, μας επιτρέπει τόσο τη στατική, όσο και τη δυναμική περιγραφή και πορεία πολύπλοκων φυσικών αντικειμένων όπως είναι και οι ζωντανοί οργανισμοί. Φράκταλς απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση, όπως στα φράκταλς που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Εικόνες φράκταλς  έχουμε και στα ψυχεδελικά σχέδια, όπου τα σχέδια είναι όμοια προς εαυτόν. Έτσι, αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα του θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγεθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ. Οι fractal εικόνες και σχέδια είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα, με τα ευκλείδεια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης. Δηλαδή, τα φτάκταλς είναι μία τάξη πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών ( διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας - το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα), που έχουν την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας. Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανομοιόμορφα φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την κλασσική γεωμετρία.

Η πιο γνωστή εφαρμογή των φράκταλ στο ευρύ κοινό είναι η μαθηματική περιγραφή διάφορων αντικειμένων ή σχημάτων της καθημερινής ζωής που παρουσιάζουν αυτοομοιότητα, όπως για παράδειγμα είναι ένα φύλλο φτέρης, ένα δέντρο ή ένα σφουγγάρι. Η ενδιαφέρουσα μάλιστα ιδιότητα αυτών των γεωμετρικών σχημάτων να έχουν γεωμετρική διάσταση κλασματική και όχι ακέραια, έδωσε την ιδέα στον Mandlebrot το 1975 να επινοήσει τον όρο φράκταλ. Για παράδειγμα, το μορφοκλασματικό σύνολο που μοιάζει με φύλλο φτέρης έχει διάσταση 1,8, που το κατατάσσει μεταξύ της γραμμής, που έχει γεωμετρική διάσταση 1, και της επιφάνειας, που έχει γεωμετρική διάσταση 2. Είναι δηλαδή κάτι ανάμεσα σε γραμμή και επιφάνεια, χωρίς να είναι κανένα από τα δύο.

Στη φύση, φράκταλ για παράδειγμα είναι στη μικροσκοπική μορφή οι νιφάδα του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων. Η θεωρία των φράκταλ δέχεται ότι "ο κόσμος είναι χαοτικός και ασυνεχής, όσον αφορά την επιφανειακή του μορφή. Αλλά πίσω από την αρχικά αντιλαμβανόμενη αυτή αταξία κρύβεται μία τάξη, απόλυτα κανονική και με άπειρη πολυπλοκότητα". Αυτό συμβαίνει εξ ορισμού στο φυσικό κόσμο αλλά τείνει να συμβαίνει και στον κόσμο που ο άνθρωπος κατασκευάζει. Αυτή η τάξη συνεχίζεται -ή καλύτερα επαναλαμβάνεται με όμοιο τρόπο, σε άπειρα επίπεδα ανάλυσης του κόσμου. Έτσι, φράκταλ θεωρείται, με απλά λόγια, η ιδιότητα κάποιων στοιχείων του χώρου να επαναλαμβάνονται με όμοιο τρόπο από τον μακρόκοσμο στον μικρόκοσμο. Για τον περισσότερο κόσμο η αντίληψη του φράκταλ δεν προέρχεται απευθείας από τη γνώση των μαθηματικών τους, αλλά από κάποιες απλοποιημένες καταστάσεις, συνήθως από τη φύση, οι οποίες παρουσιάζουν "φρακταλική" δομή. Τα φράκταλ είναι μια γενίκευση των κλασικών γεωμετρικών σχημάτων (τρίγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα, πυραμίδες κ.τ.λ.) σε μη κανονικά και συχνά πολύπλοκα σχήματα, τα οποία είτε βρίσκονται στη φύση είτε κατασκευάζονται από τον άνθρωπο για διάφορες εφαρμογές ή απλώς για την ομορφιά τους. Έτσι, η ‘’φρακταλική’’ γεωμετρία μας επιτρέπει να περιγράφουμε ικανοποιητικά και να απεικονίζουμε πολύπλοκες φυσικές δομές, όπως τα φύλλα των δέντρων, τα φτερά των πουλιών, το νεφρό του ανθρώπου, μονοκύτταρους οργανισμούς, πυρήνες κυττάρων, αλλά και σύννεφα, ποτάμια, γαλαξίες. Επιπλέον, η βαθύτερη κατανόηση των πολύπλοκων γεωμετρικών ιδιοτήτων και σχέσεων των φράκταλς φαίνεται να αποκαλύπτει κάποιους εγγενείς μηχανισμούς μορφογένεσης στον οργανικό και τον ανόργανο κόσμο. Θα πρέπει να τονίσουμε, ότι αυτό που γενικά και απλοποιημένα αντιλαμβανόμαστε ως φράκταλ, είναι κάποιες μορφές που μοιάζουν με τις γραφικές παραστάσεις των φράκταλς, ενώ η αντίληψη της αυτο-ομοιότητας (self-similarity) είναι διαφορετική. Δηλαδή, αυτο-ομοιότητα είναι η επανάληψη σε άπειρες κλίμακες παρατήρησης ή ανάλυσης ενός συμβάντος ή μιας κατάστασης. Παράδειγμα "φράκταλ" είναι η μορφή ενός φύλλου φτέρης ή το υδρογραφικό δίκτυο μιας περιοχής. Ενώ, παράδειγμα αυτο-ομοιότητας είναι τα εξογκώματα του βράχου που μοιάζουν με το βράχο, Και αν προχωρήσουμε στην απεικόνιση της μοριακής δομής του βράχου, θα συναντήσουμε πάλι την ίδια ομοιότητα, που θεωρητικά δε σταματά πουθενά.

Σημαντικότερη ίσως εφαρμογή της θεωρίας του Mandlebrot ή καλύτερα θεωρία των Mandlebrot- Levy, είναι η γενίκευση της ''Στατιστικής Φυσικής'', μέσω του συνδυασμού της με τις ιδέες του καθηγητή του Paul Pierre Levy. Η σύνθετη αυτή θεωρία έχει εφαρμογές, τόσο στις φυσικές επιστήμες, όσο και στις οικονομικές. Ο ίδιος ο Mandlebrot απέδειξε ότι το ‘’παράδοξο του Ολμπερς’’ (Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers, 1758-1840, Γερμανός αστρονόμος, ιατρός και φυσικός), που αναφέρεται στην παρατήρηση ότι ‘’ο νυκτερινός ουρανός είναι σκοτεινός, ενώ σε ένα άπειρο και αιώνιο στατικό Σύμπαν σε κάθε σημείο της ουράνιας σφαίρας θα αντιστοιχούσε η επιφάνεια ενός αστέρα, από τους άπειρους, οπότε ο ουρανός θα ήταν φωτεινός’’ μπορεί να ερμηνευθεί μόνο με την υπόθεση ότι τα άστρα έχουν κατανομή φράκταλ στο Σύμπαν, χωρίς να χρειαστεί η υπόθεση της ''Μεγάλης Έκρηξης''. Το ‘’παράδοξο του Ολμπερς’’, αναφέρεται στην καθημερινή παρατήρηση ότι το βράδυ ο ουρανός είναι σκοτεινός, ενώ απλοί μαθηματικοί υπολογισμοί δείχνουν ότι θα έπρεπε να είναι φωτεινός, εξαιτίας του φωτός των μακρινών αστεριών. Η κρατούσα σήμερα ερμηνεία είναι πως ο ουρανός είναι σκοτεινός επειδή σε μας φτάνει το φως μόνο εκείνων των αστεριών που είναι σε απόσταση μικρότερη από 13,7 δισεκατομμύρια έτη φωτός, όση δηλαδή είναι η ηλικία του Σύμπαντος μετά τη ''Μεγάλη Έκρηξη''. Ο ίδιος ο Mandlebrot όμως έδειξε το 1974 ότι το «παράδοξο» αυτό μπορεί να ερμηνευθεί και μόνο με την υπόθεση ότι τα αστέρια είναι κατανεμημένα σε ένα σχήμα φράκταλ στο Σύμπαν. Ωστόσο, αξίζει να σημειωθεί ότι η θεωρία των Mandlebrot-Levy χρησιμοποιείται σήμερα από χρηματοοικονομικούς οίκους για την πρόβλεψη της εξέλιξης των τιμών στα διάφορα χρηματιστήρια αξιών και εμπορευμάτων.

(πηγές: σταχυολογήσεις κυρίως από άρθρα, καθηγητή ΑΠΘ, Χ.Βάρβογλη στο ‘’ΒΗΜΑ Science’’, http://www.tovima.gr/science/article/?aid=362800 και ομότιμου καθηγητή ΕΜΠ Αλέξη Μπακόπουλου στην ‘’Ελευθεροτυπία’’, http://www.enet.gr/?i=news.el.article&id=51488. και . http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/09/blog-post_7748.html ).